Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmetike, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘numero’, y techne, que se refiere a un arte o habilidad.
Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal.
En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales representa potencias de 10. Tomemos el numero 1.534 como ejemplo. Cada cifra de este número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 × 100, o 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000).
La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra número se refiere también a los números negativos, irracionales, algebraicos y fracciones.
Las propiedades aritméticas de la suma y la multiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra.
1.1. Adición.
La operación aritmética de la adición (o suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. A continuación, veremos la tabla de estas sumas sencilla.
En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación. En primer lugar, para sumar cantidades grandes o sumar varias cantidades al mismo tiempo debemos ubicar una bajo la otra teniendo en cuenta que todas las unidades queden en la misma posición, es decir que, si sumamos 1.998, 6.365 y 87, tendrán que estar el 5 y el 7 debajo del 8 de la siguiente manera.
De esta manera vemos que las unidades se suman con las unidades, las decenas con las decenas y así sucesivamente, evitando que podamos equivocarnos y dar un valor mayor o menor a un número dentro del sistema posicional. También tenemos que tener en cuenta que la suma se realiza de derecha a izquierda. Otra de las leyes que debemos tener en cuenta para la sumatoria de números grandes se deriva, de que, al sumar varias cantidades es muy posible que el resultado de la sumatoria vertical sea superior a 9, por ejemplo si tomamos el caso anterior al sumar 8+5+7 el resultado es igual a 20 por lo tanto debemos colocar las unidades que en este caso son 0 como resultado de la sumatoria de esta casilla y transferir las decenas a la casilla de la izquierda, veamos un ejemplo:
1.2. Sustracción.
La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución.
La operación de la resta la definimos mediante las siguientes relaciones:
a - b = c ; b + c = a ; a - c = b;
De la propia definición podemos deducir que: a > b, a > c.
En la relación a - b = c, el número a le llamaremos minuendo, al b sustraendo y al c diferencia. el signo - se lee menos.
Al igual que en la suma en la resta para restar dos cantidades grandes debemos ubicar una bajo la otra teniendo en cuenta que todas las unidades queden en la misma posición, pero además, debemos tener en cuenta de ubicar la cantidad más grande (minuendo) en la parte superior para evitar que el resultado sea un numero negativo (en algunos casos es usual encontrar este tipo de operaciones como en los balances financieros cuando se reportan perdidas, más adelante hablaremos de las operaciones con números negativos). Vemos un ejemplo:
En la resta también se presenta la transferencia de unidades (más conocido como el préstamo), por ejemplo, en la operación anterior al restar 8 a 5 el resultado seria un numero negativo (-3) por lo tanto el numero 6 (que representa 6 decenas) que antecede al número 5 transfiere una decena al 5 adquiriendo de esta forma el valor de 15 posibilitando realizar la operación:
15 - 8 = 7
En este caso 6 (que representa 6 decenas) que transfiere una decena al numero 5 queda convertido en 5 (y representa entonces 5 decenas), esta operación se puede repetir cuantas veces sea necesario como podemos verlo en nuestro ejemplo:
Prueba de la sustracción Para conocer si hemos realizado correctamente nuestra resta, nos atenemos a la misma definición: a - b = c ; b + c = a.
O sea que, si sumamos la diferencia con el sustraendo, nos habrá de dar el minuendo. así, en el ejemplo anterior:
1.3. Multiplicación.
La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo:
3 × 4, 3 ・ 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4.
La multiplicación tiene por objetivo, dados dos números multiplicando y multiplicador, hallar un tercero llamado producto, que es la suma del multiplicando tantas veces como lo señale el multiplicador, ejemplo:
En otras palabras, la multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces (3 + 3 + 3 + 3 = 12), o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces (4 + 4 + 4 = 12). En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene procedimientos para simplificar estas operaciones, empleando solo las tablas del 1 al 9 que veremos a continuación.
Para realizar multiplicaciones largas debemos tener en cuenta las siguientes reglas.
En primer lugar debemos saber que el resultado de multiplicar cualquier número (n) por el numero 0 es siempre igual a 0, entonces veremos que:
n x 0 = 0.
Al igual que en la suma y la resta para multiplicar dos cantidades grandes debemos ubicar una bajo la otra teniendo en cuenta que todas las unidades queden en la misma posición, por ejemplo, para multiplicar 259 por 956 el número 6 debe estar ubicado bajo el número 9.
Pero además la multiplicación de números grandes es una sumatoria de varias multiplicaciones así, al multiplicar 259 por (x) 956, estamos multiplicando 259 por 6 (259 x 6), por 5 (259 x 5) y por 9 (259 x 9) en forma independiente.
Para obtener el resultado de la multiplicación debemos sumar sus productos teniendo en cuenta que, si el número 5 se encuentra en la casilla de las decenas al producto 259 por (x) 5 se le debe de agregar un cero (0) al final y al producto de 259 por (x) 9 dos ceros (00) ya que el nueve se encuentra en la casilla de las centenas, el número de ceros que se debe adherir al resultado depende de la posición que ocupe el número que multiplicamos.
Veamos un ejemplo:
O simple mente debemos tener en cuenta que el producto de cada multiplicación independiente, debe de colocarse a partir de la casilla correspondiente al valor que multiplicamos, de derecha a izquierda.
Prueba de la multiplicación
La comprobación de la certeza de un producto o de una multiplicación se puede hacer de dos maneras: La primera es invirtiendo el orden del producto, es decir, cambiando de posición al multiplicando y al multiplicador, cosa que puede hacerse en virtud de la propiedad conmutativa, (al invertir los elementos de la multiplicación no se ve afectado el producto).
La otra forma es realizando una división, dividiendo el resultado total por uno de los factores, dando como cociente el otro factor y como residuo 0.
1.4. División.
División (aritmética), es la operación opuesta de la multiplicación, para la cual se utiliza el signo ÷ o /.
5 ÷ 3 = 5 / 3
La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12÷4) o una raya inclinada (12/4).
La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3.
La mayor parte de las divisiones se pueden calcular a simple vista, pero en muchos casos es más complicado y se necesita un procedimiento conocido como división larga.
Entre dos números naturales a > b se llama división entera de a entre b a la operación en la que se obtienen otros dos números, c, cociente y r, resto, que cumplen las siguientes relaciones:
a = b · c + r
Para estudiar el procedimiento de la división distinguiremos dos casos uno simple y uno más complejo.
Para el primer caso usaremos la división 321÷79. Para realizar esta operación consideraremos el producto de 79 por los sucesivos números naturales, (1, 2, 3...) hasta encontrar un producto que se acerque de tal forma al número que buscamos dividir, que el siguiente sea mayor que el número a dividir. Entonces comprobamos que el producto de 79 x 4 es igual 316 que es menor que 321, y el producto de 79 x 5 es igual 395 que es mayor que 321.
Entonces podemos decir que el cociente de dividir 321 en 79 es igual a 4 (321=79 x 4+r) más el residuo, que está dado, por la sustracción del producto de 79 x 4 que es igual a 316, luego a 321 le restamos 316 = 5. Entonces podemos decir que el resultado de dividir 321 en 79 es igual a 4 veces 79 más 5 unidades. (321=79 x 4+5).
Nuestro segundo caso tratará de explicar cómo realizar divisiones de números enteros de mayor tamaño, en el cual el dividendo es mas de 10 mayor que el divisor, para lo cual, veremos que para dividir dos números cualesquiera D y d (dividendo y divisor) siendo D > d, separando a la izquierda del dividendo cuántas cifras sean necesarias para que sea mayor que el divisor, sin que la diferencia sea mayor a 10 veces el divisor. Veamos un ejemplo:
En este caso, al dividir 95.341 en 845 separamos las primeras tres cifras del dividendo siendo 953 el número a dividir en 845, por lo tanto, el cociente será 1 y el residuo 108. Para continuar con nuestra división, debemos bajar el siguiente número de nuestro dividendo y colocarlo al final del residuo, dando como resultado un nuevo número a dividir (1.084) y este procedimiento se repetirá cuantas veces sea necesario para dividir todos los elementos del dividendo y obtener un residuo menor al divisor.
Prueba de la división
Para probar una división debemos tener en cuenta la ecuación ya vista de:
a ÷ b, entonces, a = b · c + r (Dividendo es igual al divisor por el cociente, más el residuo final).
Si aplicamos esta fórmula a nuestro ejemplo vemos que:
2. PROPIEDADES ARITMÉTICAS.
2.1. Propiedad asociativa.
Propiedad asociativa, es una propiedad de las operaciones aritméticas. Cuando existe una operación:
(a + b) + c = a + (b + c)
Como se ve, en este caso concreto, donde
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 6 = 7 + (4 + 6)
2.2. Propiedad distributiva.
La propiedad distributiva, es una propiedad de las operaciones aritméticas. En una multiplicación de números naturales es distributiva respecto a la suma porque, cualesquiera que sean los números naturales a, b, c, se cumple que:
a x (b + c) = a x b + a x c
Como se ve, en este caso concreto, donde
a = 4, b = 7, y c = 3.
4 x (7 + 3) = 4 x 10 = 40
4 x 7 + 4 x 3 = 28 + 12 = 40
Los dos resultados coinciden, es decir, que:
4 x (7 + 3) = 4 x 7 + 4 x 3
2.3. Propiedad conmutativa.
Propiedad conmutativa, es una propiedad de las operaciones aritméticas. Cuando la suma y la multiplicación de números naturales es conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.
Cuando existe la relación:
a x b x c = a x c x b = b x a x c = b x c x a =
c x a x b = c x b x a
Cuando, a = 3, b = 4, y c = 5, entonces encontramos que la ecuación seria así:
3 x 4 x 5 = 60
3 x 5 x 4 = 60
4 x 3 x 5 = 60
4 x 5 x 3 = 60
5 x 3 x 4 = 60
5 x 4 x 3 = 60
3. OPERACIONES CON NÚMEROS NEGATIVOS.
El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo.
Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera de encontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos.
La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman los números más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta en orden creciente hacia el sentido positivo.
Los números negativos se representan de la misma manera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario. La recta numérica que se muestra a continuación representa los números positivos y negativos:
Para poder trabajar adecuadamente con operaciones aritméticas que contengan números negativos, primero se ha de introducir el concepto del valor absoluto.
Dado un número cualquiera, positivo o negativo, el valor absoluto de dicho numero es su valor sin el signo.
Así, el valor absoluto de +5 es 5, y el valor absoluto de -5 es también 5. En notación simbólica, el valor absoluto de un número cualquiera a se representa |a| y queda definido así: el valor absoluto de a es a si a es positivo, y el valor absoluto de a es -a si a es negativo.
4. LOS NÚMEROS PRIMOS.
Un numero primo es cualquier entero positivo mayor que 1 y que solo es divisible por sí mismo y por 1. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... El único numero primo par es el 2.
Los enteros que no son primos se denominan compuestos, y todos se pueden expresar como producto de números primos.
4.1. Teorema fundamental de la aritmética.
“Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo un conjunto de números primos”.
Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich. Dado un cierto número, por ejemplo 14, el teorema dice que se puede escribir de manera única como el producto de sus factores primos, en este caso:
14 = 2 x 7.
De la misma manera:
50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 25.
Descompongamos 2.568 en factores primos:
Para descomponer un número en factores primos, debemos tratar siempre de buscar el mayor número primo que es divisor del número a descomponer, de esta forma se nos facilitara la descomposición, que consiste en una serie de divisiones hasta que el cociente de nuestra división sucesiva sea igual a 1.
Así podemos decir que:
2.568 = 107 x 3 x 2 x 2 x 2 = 321 x 8. El menor múltiplo y el mayor divisor común a varios números se pueden calcular utilizando sus descomposiciones en factores primos.
4.2. Mínimo común múltiplo.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede ser dividido exactamente por todos y cada uno de ellos.
El m.c.m. contiene todos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados. Por ejemplo, para encontrar el m.c.m. de tres números: 27, 63 y 75.
Primero se descomponen en factores:
27 = 3 x 3 x 3,
63 = 3 x 3 x 7, y
75 = 3 x 5 x 5.
El m.c.m. debe contener los factores 3 x 3 x 3, 7 y 5 x 5; por tanto, 3 x 3 x 3 x 7 y 5 x 5 = 4.725 es el menor número que se puede dividir exactamente entre 27, 63 y 75.
Hallemos el mínimo común múltiplo entre 72, 105 y 17. En primer lugar debemos descomponerlos en sus factores primos.
Entonces podemos decir, que el mínimo común múltiplo (mcm) de 72, 105 y 17 es igual a:
mcm (72,105,17) = 17 x 7 x 5 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2
mcm (72,105,17) = 42.840
Es decir, que 72, 105 y 17 son divisores de 42.840 y que este número es el menor múltiplo que tienen en común estos 3 números.
4.3 Máximo común divisor.
El mayor divisor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (M.C.D.). Por ejemplo, dados 9, 15 y 27, el M.C.D. es 3, que se encuentra fácilmente examinando la descomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 3 x 3, 15 = 3 x 5, 27 = 3 x 3 x 3; el único factor que aparece en los tres números es 3.
Para aclarar un poco más este concepto hallemos el M.C.D. de los siguientes números:
Una vez tenemos los factores primos de los tres números podemos identificar cuáles son comunes en los tres. en este caso los factores que se repiten en los tres casos son el 7 y el 3 es decir que: M.C.D. (189, 231, 147) = 7 x 3 = 21 Es decir, que el mayor número que divide a la vez a 189, 231 y 147 es 21.
Glosario
Adición: f. Acción y efecto de añadir (A agregar). || Mat. Operación de sumar.
Aritmética: Parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos.
Centena: m. conjunto de 100 unidades).
Cociente: m. Mat. Resultado que se obtiene al dividir una cantidad por otra, y que expresa cuantas veces este contenido el divisor en el dividendo.
Decena: f. Conjunto de diez unidades.
Diferencia: f. Mat. resultado de la operación de restar.
Dividendo: m. Mat. Cantidad que ha de dividirse por otra.
División: f. Acción y efecto de dividir (A separar). || Mat. Operación de dividir.
Divisor: Mat. Cantidad por la cual ha de dividirse otra.
Fraccionario: adj. Perteneciente o relativo a la Fracción de un todo. || Mat. Número quebrado.
Inversa: Mat. Dicho de dos cantidades o expresiones: Cuyo producto es igual a la unidad.
Mayor que (>): Mat. Signo matemático que, colocado entre dos cantidades, indica ser mayor la primera que la segunda. (Símbolo >).
Menor que (<): Mat. Signo matemático que, colocado entre dos cantidades, indica ser menor la primera que la segunda. (símbolo <).
Minuendo: m. Mat. Cantidad de la que ha de restarse otra
Multiplicación: f. Acción y efecto de multiplicar o multiplicarse. || Mat. Operación de multiplicar.
Multiplicador: adj. Que multiplica. Mat. Dicho de un factor: Que multiplica otra expresión.
Multiplicando: adj. Mat. Dicho de un factor: Que ha de ser multiplicado.
Número: m. Mat. Expresión de una cantidad con relación a su unidad.0 m. Mat. El que no se refiere a unidad de especie determinada.
Número algebraico: m. Mat. número real o complejo que es raíz de un polinomio con coeficientes enteros.
Número cardinal: m. Mat. Cada uno de los números enteros en abstracto; p. ej., cero, diez, mil.
Número complejo: m. Mat. El que se compone de la suma de un número real y otro imaginario; p. ej., 2+3i.
Número decimal: m. Mat. El que consta de una parte entera y una decimal, separadas por una coma.
Número entero: m. Mat. El que consta exclusivamente de una o más unidades, a
diferencia de los quebrados y de los mixtos.
Número fraccionario: m. Mat. Número quebrado.
Número imaginario: m. Mat. El que se produce al extraer la raíz cuadrada de un número negativo. La unidad imaginaria, “{1, se representa por el símbolo i.
Número impar: m. Mat. El entero que no es exactamente divisible por dos.
Número irracional: m. Mat. El que, siendo real, no es racional; p. ej., d (pi).
Número ordinal: m. Mat. El que expresa ideas de orden o sucesión; p. ej., primero, segundo, tercero.
Número par: m. Mat. El entero que es exactamente divisible por dos. Numero primo. m. Mat. El entero que solo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad; p. ej., 5, 7, etc.
Número quebrado: m. Mat. El que expresa una o varias partes proporcionales de la unidad.
Número racional: m. Mat. El que se expresa como cociente de dos números enteros.
Número real: m. Mat. El que se expresa por un número entero o decimal.
Operación: f. Mat. Conjunto de reglas que permiten, partiendo de una o varias cantidades o expresiones, llamadas datos, obtener otras cantidades o expresiones llamadas resultados.
Potencias: Mat. Multiplicar una cantidad por si misma tantas veces como su exponente indica.
Producto: m. Mat. Cantidad que resulta de la multiplicación.
Conmutativa: adj. Mat. Dicho de ciertas operaciones: Cuyo resultado no varía cambiando el orden de sus términos o elementos.
Sistema: m. Conjunto de reglas o principios sobre una materia racionalmente enlazados entre sí. || Conjunto de cosas que relacionadas entre si ordenadamente contribuyen a determinado objeto.
Sistema de ecuaciones: m. Mat. Conjunto de dos o más ecuaciones cuya solución es común a todas ellas.
Sistema de numeración: m. Mat. Conjunto de reglas y signos para representar los números.
Sustracción: f. Acción y efecto de sustraer o sustraerse. || Mat. Operación de restar.
Sustraendo: m. Mat. Cantidad que ha de restarse de otra.
Tabla: f. Mat. tabla de multiplicación de los números dígitos dispuesta en forma de cuadro.
Unidad: f. Propiedad de todo ser, en virtud de la cual no puede dividirse sin que su esencia se destruya o altere. || Mat. Cantidad que se toma por medida o termino de comparación de las demás de su especie.
GUÍA PEDAGÓGICA
1. Tema: Las operaciones aritméticas, las propiedades aritméticas, los números primos, el m.c.m. y el M.C.D.
2. Objetivos: Con el estudio de esta guía el Adulto alcanzara los siguientes objetivos específicos:
* Conocer y aplicar los procedimientos necesarios para la suma, resta, multiplicación y división de números enteros.
* Aplicar correctamente las propiedades aritméticas para facilitar la solución de problemas matemáticos.
* Comprender que todo natural entero puede descomponerse en sus factores primos, para facilitar la solución de ecuaciones matemáticas complejas.
3. Palabras Claves: Adición, Aritmética, Centena, Cociente, Decena, Diferencia, Dividendo, División, Divisor, Fraccionario, Inversa, Mayor que (>), Menor que (<), Minuendo, Multiplicación, Multiplicador, Multiplicando, Números algebraicos, Números enteros, Números irracionales, Números naturales, Números negativos, Operación, Potencias, Producto, Propiedad asociativa, Propiedad conmutativa, Propiedad distributiva, Residuo, Sistema posicional, Sistema, Sustracción, Sustraendo, Tabla, Teorema, Unidad, Unidades.
4. Tabla de Contenido: El texto aborda dos temas principales organizados de la siguiente manera:
1. La Aritmética.
1.1 Adición.
1.2 Sustracción.
1.3 Multiplicación.
1.4 División.
2. Propiedades Aritméticas.
2.1. Propiedad asociativa
2.2. Propiedad distributiva
2.3. Propiedad conmutativa
3. Operaciones con números Negativos
4. Los Números Primos.
4.1. Teorema fundamental de la aritmética.
4.2. Mínimo común múltiplo.
4.3 Máximo común divisor.
5. Tiempo Estimado: El desarrollo de la guía está programado para ser estudiado en una semana, con dedicación de una hora y media (1 1/2 horas) diariamente.
6. Grado de Articulación: Esta Guía tiene como prerrequisito obligatorio a la Guía Numero
3. titulada “Los Sistemas de Numeración y los Conjuntos Numéricos”.
7. Área del Conocimiento: Esta guía es general y de carácter introductorio, corresponde al estudio del área deMatemáticas.