1. LAS MATEMÁTICAS Y SUS RAMAS.
Las matemáticas o la matemática es el estudio de las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolos. La matemática en realidad es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantear problemas de manera no ambigua en contextos específicos.
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).
Estudiemos algunas de las ramas o áreas que conforman las matemáticas y que son estudiadas en el desarrollo del bachillerato.
1.1. La teoría de conjuntos: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
1.2. La lógica matemática: También llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal, o logística, es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica.
1.3. La Aritmética: Es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, sustracción, multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la Matemática, como el Álgebra o la Geometría, el sentido de la «Aritmética» ha ido evolucionando con el amplio y diversificado desarrollo de las ciencias. Originalmente, la Aritmética se desarrolló de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «Ciencias Naturales».
En la actualidad, puede referirse a la Aritmética Elemental, enfocada a la enseñanza de la Matemática Básica; también al conjunto que reúne el Cálculo Aritmético y las Operaciones Matemáticas, específicamente, las cuatro Operaciones Básicas aplicadas, ya sea a números (números naturales, números enteros, números fraccionarios, números decimales, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc.); también a la así llamada alta aritmética, mejor conocida como Teoría de Números.
1.4. El álgebra: Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).
El álgebra es el estudio de las estructuras que permiten generalizar la solución de problemas a través del uso de incógnitas (también llamadas variables) y que se representan por letras.
El álgebra es el estudio de las estructuras que permiten generalizar la solución de problemas a través del uso de incógnitas (también llamadas variables) y que se representan por letras.
1.5. La geometría: Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
1.6. La probabilidad: La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. Los fenómenos aleatorios se contraponen a los fenómenos deterministas, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 ºC a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda.
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
1.7. La Estadística: Es una rama de las matemáticas y una herramienta que estudia usos y análisis provenientes de una muestra representativa de datos, que busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.
Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad. Además, se usa en áreas de negocios o instituciones gubernamentales ya que su principal objetivo es describir al conjunto de datos obtenidos para la toma de decisiones o bien, para realizar generalizaciones sobre las características observadas.
Hoy en día, la estadística es una ciencia que se encarga de estudiar una determinada población por medio de la recolección, recopilación e interpretación de datos. Del mismo modo, también es considerada una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo.
1.8. El Cálculo: En general el término cálculo hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
No obstante, el uso más común del término "cálculo" es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.
En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.
El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.
1.9. Matemática Aplicada: El término matemáticas aplicadas se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas como el cálculo, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, entre otras.
Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, ingeniería, medicina, ciencias sociales, informática, economía, finanzas o ecología.
Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales.
Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos.
En las últimas décadas, una de las aplicaciones más directas de la matemática tales como: álgebra lineal, geometría plana y del espacio, cálculo y física han sido un fundamento para el desarrollo de simuladores y videojuegos en 3D.
2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
El descubrimiento del concepto de número surgió hace unos cuatrocientos mil años, en la misma época en que nuestros antepasados descubrieron el fuego. Desde entonces, se empleaban distintas palabras para designar, por ejemplo, el número 3, según se tratase de tres personas, tres días o tres peces, lo que demuestra que todavía no existía el concepto de “número tres”.
Nuestros antepasados han empleado diversos códigos para expresar los números. En la antigüedad los egipcios contaban ya con un sistema de numeración ); y mas adelante los griegos desarrollaron el suyo. Luego los romanos crearon también su propio sistema de numeración que se ha extendido hasta nuestros días.
A pesar de que algunas civilizaciones de la antigüedad, como los babilonios, los egipcios, los aztecas, los mayas, los incas y los griegos, lograron un extraordinario desarrollo aritmético, fueron los hindúes quienes en el siglo II de nuestra era, establecieron por primera vez el actual sistema de numeración decimal, posicional y completo.
Fueron los árabes quienes establecieron un importante comercio con la India y, a finales del siglo VIII, adoptaron sus sistema de numeración. A través de la Península Ibérica, que había sido invadida en el año 711, la cultura árabe ejerció cierta influencia en Europa. Pero, a pesar de las evidentes ventajas del sistema de numeración decimal actual, los europeos siguieron usando el sistema de numeración romano hasta el siglo XV.
No es raro pues que con los dedos de las manos se pueden representar conjuntos de hasta diez objetos. Por eso muchas personas siguen utilizando los dedos para contar y realizar las operaciones aritméticas.
Hoy en África tribus emplean sistemas de numeración que requieren la colaboración de varias personas: la primera cuenta con los dedos hasta diez, la segunda cuenta con los dedos las veces que la primera llega a diez, la tercera cuenta los grupos de diez de la segunda, y así sucesivamente.
2.1. El Sistema de Numeración de Base Diez o Sistema Decimal.
Decimos que el sistema actual de numeración es decimal, o de base diez, porque emplea diez signos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) para escribir los números.
El hecho de que existan infinitos números y el hecho de contemos con tan solo diez signos para representarlos, plantea un grave problema. El sistema posicional es una brillante solución. Consiste en otorgar distinto valor a la misma cifra, según la posición que ocupe. Así por ejemplo, en el número 223, el primer 2 vale doscientos, mientras que el segundo solo vale veinte.
Además de decimal y posicional, nuestro sistema de numeración es completo, puesto que incluye el cero, un número que hoy está plenamente aceptado, en el pasado tuvo que vencer fuertes resistencias.
2.2. El Sistema Internacional de Unidades.
En la actualidad la comunidad científica y comercial utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), el cual fue aprobado durante la 11o Conferencia General de Pesos y Medidas, en 1960. Sin embargo, los Estados Unidos utiliza el sistema británico, por lo que presentamos ambos sistemas:
Los colombianos nos hemos acogido al Sistema Internacional de Unidades, y por ende utilizamos el sistema internacional para realizar el conteo. Este sistema de numeración es el utilizado por toda la comunidad científica a nivel internacional.
2.3. Los Números Romanos.
La civilización romana, una de las más importantes de la historia de la humanidad, no disponía de un sistema de numeración tan perfecto como el descubierto por los hindúes. Sin embargo seguimos utilizándolo para llevar el conteo de los siglos a nivel de la cronología histórica, también algunos editores en las publicaciones (libros) ordenan sus capítulos utilizando la nomenclatura romana. Por ello vamos a conocerla.
Los signos y principios en que se basa la numeración romana son:
I Uno
V Cinco
X Diez
L Cincuenta
C Cien
D Quinientos
M Mil
Estos signos se clasifican en fundamentales y secundarios. Son fundamentales los siguientes: I (unidad), X (decena), C (centena) y M (millar).
Los secundarios son V, L y D.
Principios del sistema de numeración romano.
1. Solo se pueden repetir los signos fundamentales uno seguido del otro.
Ejemplo: III; XX; MM.
2. Ningún signo puede repetirse más de 3 veces.
Ejemplo: 4 no se puede escribir IIII.
3. Un signo colocado antes de otro le resta su valor y colocado después le suma su valor.
Ejemplo: 6 = VI; 4 = IV.
4. La I solo se antepone a la V y la X; la X solo delante de la L y la C; la C se antepone a la D y la M.
Ejemplo: IV = 4, IX = 9, LX = 60, CX = 110; CD = 400, CM = 900.
Los signos secundarios (V, L y D) no se anteponen a otras letras.
5. El signo colocado delante del otro para reducir su valor no se puede repetir.
Ejemplo: 8 no se puede escribir IIX.
6. Un trazo horizontal colocado encima de un signo aumenta su valor mil veces.
Ejemplo: V = cinco mil; X = Diez Millones
A continuación damos los números romanos del 1 al 20:
2.4. El Sistema de Numeración de Base Dos o Sistema Binario
En el sistema de base dos, o sistema binario sólo disponemos de dos signos: el 0 y el 1, con los que hay que escribir todos los números. En la gráfica siguiente vemos cómo se escriben los 10 primeros números en el sistema binario.
3. LOS CONJUNTOS
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones.
Los diversos conjuntos numéricos se describen a continuación:
3.1. Los Números Naturales.
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos:
N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un numero natural.
Sin embargo, no siempre pueden restarse ni dividirse (ni 3 - 7 ni 7 : 4 son números naturales).
En otras palabras podemos decir que los números naturales son el conjunto de los números enteros positivos y el cero.
3.2. Los Números Enteros.
Son los naturales y los correspondientes negativos:
Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3,…, 9, 10, 11,…}
Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales.
Sin embargo, en general, dos números enteros no se pueden dividir. Por eso se pasa a la siguiente estructura numérica.
3.3. Los Números Racionales.
Son los que se pueden expresar como cociente (o resultado de la división) de dos números enteros. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios.
Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.
3.4. Los Números Reales.
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, esta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales.
Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales.
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
3.5. Los Números Imaginarios.
El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = −1 , este no puede ser un valor real, no ya en sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a −1 .
3.6. Los Números Complejos.
En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los número reales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.
Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.